第1题求极限， 常规的等价无穷小替换；

第2题求函数微分， 常规的求微分；

第3题极坐标， 直接求解即可；

第4题距离问题， 纯高中题目，但是赛时直接想通过椭圆的焦点计算？！(糖丸了…)，转化为椭圆上点到圆心的最小距离-1即可；

第5题定积分计算， 常规换元后计算即可；

第6题变上限积分， 有个坑(专治眼残)要求的是$dx/dy$,导致赛时全错(不检查的cuo)；

第7题多元函数微分， 直接计算即可；

第8题二重积分计算， 极坐标换元即可，甚至没考察对称性，感觉放在第8题非常不合理；

第二题一元积分计算， 较难的一道积分计算题，赛时的解法用了较多换元，补题提供了另一种解法(三角代换)

第三大题积分几何应用， 设点定积分求面积即可解决第一问，第二问分别用圆盘法和壳层法求解即可 (赛时不想写直接跳了)

第四大题二元函数概念题， 只会傻乎乎求偏导数了，概念忘了一堆，忘记如何用定义法求偏导数了，，，，赛后补题

第五大题二元函数微分， 第一问链式法则即可；第二问反求表达式，常见的解法是换元和偏积分方法，赛时忘记怎么写了，，，补一下第二种方法…

第六大题二重积分计算， 第一个积分交换积分次序即可，第二个积分极坐标换元后忘记极坐标r的变换了…补题补题

第七题极值问题， 高中题目

第八题证明题，好难好难

求积分：

作三角代换 $x = \sin t$，则 $dx = \cos t\, dt$，$\sqrt{1-x^{2}} = \cos t$。

于是

利用恒等式 $\cos^{2} t = 1 - \sin^{2} t$：

因为

所以

用 $u = \tan t$ 代换，则 $\sin^{2} t = \frac{u^{2}}{1+u^{2}}$，$dt = \frac{du}{1+u^{2}}$：

这是标准积分：

代回 $u = \tan t$，并由 $x = \sin t$，得 $\tan t = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$。所以

因此

代回 $I$：

当 $xy \neq 0$ 时求 $f_x'(x,y)$

此时函数为：

当 $xy=0$ 时用定义求 $f_x'(x,y)$

(1) 在 $(x,0)$ 且 x \neq 0$$，y= 0：

由分段定义，$f(x,0)=0$；

所以 $f_x'(x,0)=0$。

该式也符合公式 $2x \arctan(0) - 0 = 0$，在 $x \neq 0$ 时是连续的。

(2) 在 $(0,y)$ 且 y \neq 0$$，x = 0：

由于分子出现$0⋅∞$不定式，不能直接带入

当 $h \neq 0$ 时，$h y \neq 0$，可用解析表达式：

因此：

这也和公式 $2\cdot 0 \cdot \arctan\frac{y}{0} - y$ 的极限形式相符（如令 $\arctan\infty = \pi/2$，则 $2\cdot 0 \cdot \pi/2=0$，减去 y 得 -y）。

先在 $y=0$ 附近考虑 $f_x'(x,y)$。

当 $y \neq 0$：

对 $y$ 求偏导（$x$ 常数）：

当 $x \neq 0$ 时：

特别地，如果要求 $f_{xy}''(0,0)$，则需用定义：

由之前结果：$f_x'(0,k) = -k$，$f_x'(0,0) = 0$，所以：

求偏积分：

由$g(x,x)=f(x,0)=x^2\mathrm{e}^{-x}$，得：

故：

令$u = x, v = y - x$，得：

令 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，则 $\sqrt{x^{2}+y^{2}} = r$，雅可比为 $r$。

先看积分区域：

• $y$ 从 0 到 1。
• 对每个 $y$，$x$ 从 1 到 $\sqrt{2-y^{2}}$。

在极坐标下：

• $x = 1$ 对应 $r\cos\theta = 1 \Rightarrow r = \sec\theta$。
• $x = \sqrt{2-y^{2}}$ 对应 $x^{2}+y^{2}=2 \Rightarrow r = \sqrt{2}$（这是圆弧）。
• $y=0$ 对应 $\theta=0$，$y=1$ 对应 $\theta=\pi/4$（因为当 $y=1$ 时，$x=\sqrt{2-1}=1$，点 $(1,1)$ 对应 $r=\sqrt{2},\theta=\pi/4$）。

因此区域是：$\theta$ 从 0 到 $\pi/4$，$r$ 从 $\sec\theta$ 到 $\sqrt{2}$。

积分变为：