[数学] 积分类-分部积分

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3 分钟
[数学] 积分类-分部积分
2026-05-09
数学
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积分

T1-分部积分#

题意：#

I=∫x2(xsec⁡2x+tan⁡x)(xtan⁡x+1)2dxI=\int\frac{x^{2}(x\sec^{2}x+\tan x)}{(x\tan x+1)^{2}}dx
题解

注意到 （注意力惊人）：

ddx(xtan⁡x+1)=xsec⁡2x+tan⁡x\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(x \tan x+1)=x \sec ^{2} x+\tan x \end{aligned}ddx(xsin⁡x+cos⁡x)=xcos⁡x;\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x \sin x + \cos x) = x \cos x;\end{aligned}

那么显然：

I=∫x2 d(−1xtan⁡x+1)=−x2xtan⁡x+1+∫2xxtan⁡x+1 dx=−x2xtan⁡x+1+2∫xcos⁡xxsin⁡x+cos⁡x dx=−x2xtan⁡x+1+2ln⁡∣xsin⁡x+cos⁡x∣+C\begin{aligned} I &= \int x^2 \, \mathrm{d}\left(-\frac{1}{x \tan x + 1}\right) \\ &= -\frac{x^2}{x \tan x + 1} + \int \frac{2x}{x \tan x + 1} \, \mathrm{d}x \\ &= -\frac{x^2}{x \tan x + 1} + 2 \int \frac{x \cos x}{x \sin x + \cos x} \, \mathrm{d}x \\ &= -\frac{x^2}{x \tan x + 1} + 2 \ln |x \sin x + \cos x| + C \end{aligned}

T2-分部积分#

题意：#

I=∫arcsin⁡xarccos⁡xdx.I = \int \arcsin x \arccos x dx.
题解

熟悉下arccos⁡x和arcsin⁡x\arccos x 和 \arcsin x

I=xarcsin⁡xarccos⁡x−∫x(arccos⁡x−arcsin⁡x)1−x2 dx=xarcsin⁡xarccos⁡x+∫(arccos⁡x−arcsin⁡x) d(1−x2)=xarcsin⁡xarccos⁡x+(arccos⁡x−arcsin⁡x)1−x2+2∫ dx=xarcsin⁡xarccos⁡x+(arccos⁡x−arcsin⁡x)1−x2+2x+C.\begin{aligned}\\I &= x \arcsin x \arccos x - \int \frac{x(\arccos x - \arcsin x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \\\\&= x \arcsin x \arccos x + \int (\arccos x - \arcsin x) \, d\left(\sqrt{1-x^2}\right) \\\\&= x \arcsin x \arccos x + (\arccos x - \arcsin x)\sqrt{1-x^2} + 2 \int \, dx \\\\&= x \arcsin x \arccos x + (\arccos x - \arcsin x)\sqrt{1-x^2} + 2x + C.\\\end{aligned}

T3-分部积分-递推法#

题意：#

求In=∫sin⁡nxdx的递推公式,并利用所得结果求∫sin⁡4xdx.求 I_{n}=\int \sin ^{n} x d x 的递推公式, 并利用所得结果求 \int \sin ^{4} x d x .
题解In=∫sin⁡n−2x(1−cos⁡2x) dx=∫sin⁡n−2x dx−∫sin⁡n−2xcos⁡2x dx=In−2−∫cos⁡xsin⁡n−2x d(sin⁡x)=In−2−1n−1cos⁡xsin⁡n−1x−Inn−1,\begin{aligned} I_{n} &= \int \sin^{n-2} x (1 - \cos^2 x) \, dx \\ &= \int \sin^{n-2} x \, dx - \int \sin^{n-2} x \cos^2 x \, dx \\ &= I_{n-2} - \int \cos x \sin^{n-2} x \, d(\sin x) \\ &= I_{n-2} - \frac{1}{n-1} \cos x \sin^{n-1} x - \frac{I_n}{n-1}, \end{aligned}

故：

In=n−1nIn−2−1ncos⁡xsin⁡n−1x (n≠0,1).I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}-\frac{1}{n}\cos x\sin^{n-1}x\ (n\neq0,1).

由于I0=∫ dx=x+C,I_{0}=\int\mathrm{~d}x=x+C,由上述结果得：

I2=12I0−12cos⁡xsin⁡x=x2−14sin⁡2x+C2,I4=∫sin⁡4x dx=34I2−14cos⁡xsin⁡3x=34(x2−14sin⁡2x+C2)−18sin⁡2xsin⁡2x=38x−14sin⁡2x+132sin⁡4x+C1(其中 C1=38C).\begin{aligned} I_{2} &= \frac{1}{2} I_{0} - \frac{1}{2} \cos x \sin x = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{C}{2}, \\ I_{4} &= \int \sin^{4} x \, dx = \frac{3}{4} I_{2} - \frac{1}{4} \cos x \sin^{3} x \\ &= \frac{3}{4} \left( \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{C}{2} \right) - \frac{1}{8} \sin 2x \sin^{2} x \\ &= \frac{3}{8} x - \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{32} \sin 4x + C_{1} \quad \text{(其中 } C_{1} = \frac{3}{8} C). \end{aligned}

T4#

题意：#

 求 In=∫dxxn1+x2 的递推公式, 并利用所得结果求 ∫dxx31+x2.\begin{aligned}& \text { 求 } I_{n}=\int \frac{\mathrm{d} x}{x^{n} \sqrt{1+x^{2}}} \text { 的递推公式, 并利用所得结果求 } \int \frac{\mathrm{d} x}{x^{3} \sqrt{1+x^{2}}}. \\& \end{aligned}
题解In=12∫d(x2+1)xn+11+x2=∫d(x2+1)xn+1=x2+1xn+1−∫x2+1 d(1xn+1)=x2+1xn+1+(n+1)∫x2+1xn+2 dx=x2+1xn+1+(n+1)∫x2+1xn+2x2+1 dx=x2+1xn+1+(n+1)In+(n+1)In+2,\begin{aligned}\\I_{n} &= \frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{d}\left(x^{2}+1\right)}{x^{n+1} \sqrt{1+x^{2}}} = \int \frac{\mathrm{d}\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)}{x^{n+1}} \\\\&= \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x^{n+1}} - \int \sqrt{x^{2}+1} \mathrm{~d}\left(\frac{1}{x^{n+1}}\right) \\\\&= \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x^{n+1}} + (n+1) \int \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x^{n+2}} \mathrm{~d} x \\\\&= \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x^{n+1}} + (n+1) \int \frac{x^{2}+1}{x^{n+2} \sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~d} x \\\\&= \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x^{n+1}} + (n+1) I_{n} + (n+1) I_{n+2},\\\end{aligned}

故：

In+2=−nn+1In−x2+1(n+1)xn+1.I_{n+2} = -\frac{n}{n+1}I_n - \frac{\sqrt{x^2+1}}{(n+1)x^{n+1}}.

利用三角代换x=tan⁡t,t∈(−π2,π2)x=\tan t,t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)：

I1=∫dxx1+x2=∫sec⁡2t dttan⁡tsec⁡t=∫csc⁡t dt=ln⁡∣csc⁡t−cot⁡t∣+C=ln⁡1+x2−1∣x∣+C.\begin{aligned} I_{1} &= \int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{1+x^{2}}} \\ &= \int \frac{\sec^{2}t \, \mathrm{d}t}{\tan t \sec t} \\ &= \int \csc t \, \mathrm{d}t \\ &= \ln|\csc t - \cot t| + C \\ &= \ln \frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{|x|} + C. \end{aligned}

由递推式：

I3=∫dxx31+x2=−12I1−1+x22x2=−12(ln⁡1+x2−1∣x∣+C)−1+x22x2=12ln⁡1+x2+1∣x∣−1+x22x2+C1(其中 C1=−12C).\begin{aligned} I_{3} &= \int \frac{\mathrm{d}x}{x^{3} \sqrt{1 + x^{2}}} \\ &= -\frac{1}{2} I_{1} - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{2 x^{2}} \\ &= -\frac{1}{2} \left( \ln \frac{\sqrt{1 + x^{2}} - 1}{|x|} + C \right) - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{2 x^{2}} \\ &= \frac{1}{2} \ln \frac{\sqrt{1 + x^{2}} + 1}{|x|} - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{2 x^{2}} + C_{1} \quad \left( \text{其中 } C_{1} = -\frac{1}{2} C \right). \end{aligned}

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作者
JulY
发布于
2026-05-09
许可协议
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