数学-5/12-积分类#

f(x) \text{ 在 } (-\infty, +\infty) \text{ 内恒满足 } f(x) = f(x - \pi) + \sin x, \\ \text{且当 } 0 \leqslant x < \pi \text{ 时, } f(x) = x. \\ \text{试计算: } \int_{-\pi}^{3\pi} f(x) \, dx.

题解

当 $\pi≤ x < 2\pi$ 时， $0≤ x - \pi < \pi$ ,则：

\begin{aligned} f(x) &= f(x-\pi) + \sin x \\ &= x - \pi + \sin x \end{aligned}

当 $2\pi≤ x < 3\pi$ 时， $\pi ≤ x - \pi < 2\pi$ ,则：

\begin{aligned} f(x) &= f(x - \pi) + \sin x \\ &= (x - \pi) - \pi + \sin(x - \pi) + \sin x \\ &= x - 2\pi. \end{aligned}

则

\begin{aligned}\int_{\pi}^{3 \pi} f(x) \mathrm{d} x=\int_{\pi}^{2 \pi}(x-\pi+\sin x) \mathrm{d} x+\int_{2 \pi}^{3 \pi}(x-2 \pi) \mathrm{d} x=\pi^{2}-2\end{aligned}

求定积分：

I=\int_{a}^{b}xe^{-|x|}\mathrm{d}x

题解

含有绝对值的函数也是分段函数，一般而言可以参考T1求解，但在T2中，由于积分限都是一般参数，难以分段处理.可行的做法是，先求出被积函数的原函数，但较为繁琐，下面采用一种利用函数奇偶性的方法：

若 $a > b > 0$ ：

I=\int_{a}^{b}xe^{-x}\mathrm{d}x=-(x+1)e^{-x}|_{a}^{b}=(a+1)e^{-a}-(b+1)e^{-b}

\begin{aligned} I &= \int_{a}^{b} x e^{-|x|} \mathrm{d}x + \int_{|a|}^{a} x e^{-|x|} \mathrm{d}x + \int_{b}^{|b|} x e^{-|x|} \mathrm{d}x = \int_{|a|}^{|b|} x e^{-|x|} \mathrm{d}x \end{aligned}

则：

I=(|a|+1)e^{-|a|}-(|b|+1)e^{-|b|}

求定积分：

I=\int_{0}^{1} x \arcsin 2\sqrt{x(1-x)}dx

题解

$由$$\begin{aligned} & x(1-x)=\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{2}-x\right)^{2}, \text { 令 } \frac{1}{2}-x=\frac{1}{2} \cos t, \text { 则： } \end{aligned}$

\begin{aligned}\\I &= \frac{1}{4} \int_{0}^{\pi}(1-\cos t) \sin t \arcsin (\sin t) dt \\\\&= \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t \sin t (1 - \cos t) dt + \frac{1}{4} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (\pi - t) \sin t (1 - \cos t) dt.\\\end{aligned}

对后一积分做变量代换 $u = \pi - x$ ，则：

\begin{aligned} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}(\pi-t) \sin t(1-\cos t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} u \sin u(1+\cos u) \mathrm{d} u \end{aligned}

则：

\begin{aligned} & I=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t \sin t d t=\left.\frac{1}{2}(-t \cos t)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos t d t=\frac{1}{2} \end{aligned}

[数学] 积分类-定积分计算