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[数学] 积分类-定积分计算技巧

2026-05-14

数学

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积分

数学-5/14-积分类#

定积分计算的几个技巧：

\begin{aligned} &(1) \text{ 若 } f(x) \text{ 为偶函数，则 } \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx \quad (a>0); \\ &(2) \text{ 若 } f(x) \text{ 为奇函数，则 } \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0 \quad (a>0); \\ &(3) \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} [f(x) + f(-x)] \, dx \quad (a>0); \\ &(4) \text{ 若 } f(x) \text{ 以 } T \text{ 为周期，则 } \int_{a}^{a+T} f(x) \, dx = \int_{0}^{T} f(x) \, dx \quad (\text{其中 } a \text{ 为任意实数}); \\ &(5) \int_{0}^{\pi/2} f(\sin x) \, dx = \int_{0}^{\pi/2} f(\cos x) \, dx; \\ &(6) \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \, dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \, dx; \\ &(7) \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2n} x \, dx = \frac{(2n-1)(2n-3)\cdots 1}{(2n)(2n-2)\cdots 2} \cdot \frac{\pi}{2}, \quad \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2n+1} x \, dx = \frac{(2n)(2n-2)\cdots 2}{(2n+1)(2n-1)\cdots 1}. \end{aligned}

T1-(4)的应用

题意

求定积分：

I = \int_{0}^{n\pi} \sqrt{1 - \sin 2x} \, dx

题解

被积函数 $\sqrt{1-\sin 2x} = |\cos x - \sin x|$ 以 $\pi$ 为周期，由 (4) 得：

\begin{aligned} I &= \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\cos x - \sin x| \, dx \\ &= n \int_{0}^{\pi} |\cos x - \sin x| \, dx \\ &= n \int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x) \, dx + n \int_{\pi/4}^{\pi} (\sin x - \cos x) \, dx \\ &= 2\sqrt{2} \, n. \end{aligned}

T2-(3)和(7)的应用

题意

求定积分：

I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^4 x}{1+e^{-x}} \, dx

题解

\begin{aligned} I &= \int_{0}^{\pi/2} \left[ \frac{\sin^4 x}{1+e^{-x}} + \frac{\sin^4(-x)}{1+e^{-(-x)}} \right] dx \\ &= \int_{0}^{\pi/2} \sin^4 x \, dx \\ &= \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \\ &= \frac{3\pi}{16}. \end{aligned}

T3-(5)的应用

题意

求定积分：

I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x} \, dx

题解

\begin{aligned} I &= \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos^3 x}{\cos x + \sin x} \, dx \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x} \, dx \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} (\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) \, dx \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} (1 - \sin x \cos x) \, dx \\ &= \frac{\pi - 1}{4}. \end{aligned}

T4-(1)和(2)的应用

题意

求定积分：

I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{x}{1+\sin x} \, dx

题解

\begin{aligned} I &= \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{x(1 - \sin x)}{(1 + \sin x)(1 - \sin x)} \, dx \\ &= \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \left( \frac{x}{\cos^2 x} - \frac{x \sin x}{\cos^2 x} \right) dx \\ &= -2 \int_{0}^{\pi/4} \frac{x \sin x}{\cos^2 x} \, dx \\ &= -2 \left. \frac{x}{\cos x} \right|_{0}^{\pi/4} + 2 \int_{0}^{\pi/4} \sec x \, dx \\ &= -\frac{\sqrt{2}\,\pi}{2} + 2 \ln(\sec x + \tan x) \bigg|_{0}^{\pi/4} \\ &= -\frac{\sqrt{2}\,\pi}{2} + 2 \ln(1 + \sqrt{2}). \end{aligned}

T5-(6)的应用

题意

求定积分：

I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{x \sin x \cdot \arctan e^{x}}{1+\cos^{2} x} \, dx

题解

对任意 $x$ ，有 $\arctan e^{x} + \arctan e^{-x} = \frac{\pi}{2}$ ，

\begin{aligned} I &= \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x \cdot (\arctan e^{x} + \arctan e^{-x})}{1 + \cos^{2} x} \, dx \\ &= \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^{2} x} \, dx. \end{aligned}

由 (6) 得：

\begin{aligned} I &= \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} \, dx \\ &= -\frac{\pi^2}{4} \arctan(\cos x) \bigg|_{0}^{\pi} \\ &= \frac{\pi^3}{8}. \end{aligned}

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[数学] 积分类-定积分计算技巧

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作者

JulY

发布于

2026-05-14

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

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