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[数学] 积分类-凑微分

2026-05-07

数学

/

积分

数学-积分类#

主要是一些凑微分的技巧（~~感觉更像是直觉~~）

T1#

问题#

求不定积分：

I = \int \frac{1-\ln x}{(x-\ln x)^2}\mathrm{d}x

题解#

凑出 ${~d}(1-\frac{\ln x}{x})$ 不太常见的凑微分

\begin{aligned} I &=\int \frac{1-\ln x}{x^{2}\left(1-\frac{\ln x}{x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x \\ &= -\int \frac{\mathrm{d}\left(1-\frac{\ln x}{x}\right)}{\left(1-\frac{\ln x}{x}\right)^{2}} \\ &= \frac{1}{1-\frac{\ln x}{x}}+C \\ &= \frac{x}{x-\ln x}+C \end{aligned}

T2#

问题#

求不定积分：

I=\int\frac{1+x}{x(1+xe^{x})}\mathrm{d}x

题解#

想到同乘 $e^x$ 得到微分 ${d}(xe^x)$

\begin{aligned} I &= \int \frac{(1+x)e^x}{xe^x(1+xe^x)} \mathrm{d}x \\ &= \int \left( \frac{1}{xe^x} - \frac{1}{1+xe^x} \right) \mathrm{d}(xe^x) \\ &= \ln |xe^x| - \ln |1+xe^x| + C \\ &= \ln \left| \frac{xe^x}{1+xe^x} \right| + C \end{aligned}

T3#

问题#

求不定积分：

I = \int \frac{\mathrm{d}x}{1 + x^4}

题解#

非常抽象的一道凑积分题目，第一步就很难想到，拆分后得到的两个积前者是15年CMC决赛题目

\begin{aligned}\\I &= \frac{1}{2} \int \frac{(1+x^2)+(1-x^2)}{1+x^4} \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int \frac{1+x^2}{1+x^4} \mathrm{d}x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2-1}{1+x^4} \mathrm{d}x \\\\&= \frac{1}{2} \int \frac{1+\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}} \mathrm{d}x - \frac{1}{2} \int \frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}} \mathrm{d}x \\\\&= \frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{d}\left(x-\frac{1}{x}\right)}{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2} - \frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{d}\left(x+\frac{1}{x}\right)}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2} \\\\&= \frac{1}{2\sqrt{2}} \arctan \frac{x-\frac{1}{x}}{\sqrt{2}} - \frac{1}{4\sqrt{2}} \ln \left| \frac{x+\frac{1}{x}-\sqrt{2}}{x+\frac{1}{x}+\sqrt{2}} \right| + C \\\\&= \frac{\sqrt{2}}{4} \arctan \frac{x^2-1}{\sqrt{2}x} + \frac{1}{4\sqrt{2}} \ln \frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1} + C.\\\end{aligned}

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[数学] 积分类-凑微分

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作者

JulY

发布于

2026-05-07

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

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