数学-积分类-5/7

237 字
1 分钟
数学-积分类-5/7
2026-05-07
数学-积分
数学，积分
浏览量 加载中...

数学-5/7-积分类#

主要是一些凑微分的技巧（感觉更像是直觉）

T1#

问题#

求不定积分：

I=∫1−ln⁡x(x−ln⁡x)2dxI = \int \frac{1-\ln x}{(x-\ln x)^2}\mathrm{d}x

题解#

凑出 d(1−ln⁡xx){~d}(1-\frac{\ln x}{x}) 不太常见的凑微分

I=∫1−ln⁡xx2(1−ln⁡xx)2 dx=−∫d(1−ln⁡xx)(1−ln⁡xx)2=11−ln⁡xx+C=xx−ln⁡x+C\begin{aligned} I &=\int \frac{1-\ln x}{x^{2}\left(1-\frac{\ln x}{x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x \\ &= -\int \frac{\mathrm{d}\left(1-\frac{\ln x}{x}\right)}{\left(1-\frac{\ln x}{x}\right)^{2}} \\ &= \frac{1}{1-\frac{\ln x}{x}}+C \\ &= \frac{x}{x-\ln x}+C \end{aligned}

T2#

问题#

求不定积分：

I=∫1+xx(1+xex)dxI=\int\frac{1+x}{x(1+xe^{x})}\mathrm{d}x

题解#

想到同乘exe^x得到微分d(xex){d}(xe^x)

I=∫(1+x)exxex(1+xex)dx=∫(1xex−11+xex)d(xex)=ln⁡∣xex∣−ln⁡∣1+xex∣+C=ln⁡∣xex1+xex∣+C\begin{aligned} I &= \int \frac{(1+x)e^x}{xe^x(1+xe^x)} \mathrm{d}x \\ &= \int \left( \frac{1}{xe^x} - \frac{1}{1+xe^x} \right) \mathrm{d}(xe^x) \\ &= \ln |xe^x| - \ln |1+xe^x| + C \\ &= \ln \left| \frac{xe^x}{1+xe^x} \right| + C \end{aligned}

T3#

问题#

求不定积分：

I=∫dx1+x4I = \int \frac{\mathrm{d}x}{1 + x^4}

题解#

非常抽象的一道凑积分题目，第一步就很难想到，拆分后得到的两个积前者是15年CMC决赛题目

I=12∫(1+x2)+(1−x2)1+x4dx=12∫1+x21+x4dx−12∫x2−11+x4dx=12∫1+1x2x2+1x2dx−12∫1−1x2x2+1x2dx=12∫d(x−1x)(x−1x)2+2−12∫d(x+1x)(x+1x)2−2=122arctan⁡x−1x2−142ln⁡∣x+1x−2x+1x+2∣+C=24arctan⁡x2−12x+142ln⁡x2+2x+1x2−2x+1+C.\begin{aligned}\\I &= \frac{1}{2} \int \frac{(1+x^2)+(1-x^2)}{1+x^4} \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int \frac{1+x^2}{1+x^4} \mathrm{d}x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2-1}{1+x^4} \mathrm{d}x \\\\&= \frac{1}{2} \int \frac{1+\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}} \mathrm{d}x - \frac{1}{2} \int \frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}} \mathrm{d}x \\\\&= \frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{d}\left(x-\frac{1}{x}\right)}{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2} - \frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{d}\left(x+\frac{1}{x}\right)}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2} \\\\&= \frac{1}{2\sqrt{2}} \arctan \frac{x-\frac{1}{x}}{\sqrt{2}} - \frac{1}{4\sqrt{2}} \ln \left| \frac{x+\frac{1}{x}-\sqrt{2}}{x+\frac{1}{x}+\sqrt{2}} \right| + C \\\\&= \frac{\sqrt{2}}{4} \arctan \frac{x^2-1}{\sqrt{2}x} + \frac{1}{4\sqrt{2}} \ln \frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1} + C.\\\end{aligned}

文章分享

如果这篇文章对你有帮助，欢迎分享给更多人！

数学-积分类-5/7
http://blog.7a7a68.xyz/posts/数学-5-7-积分类/
作者
7a7a68
发布于
2026-05-07
许可协议
CC BY-NC-SA 4.0
AWC64
2026天梯补题及吐槽
相关文章 智能推荐
1
数学-积分类-5/8
数学-积分 积分的换元方法
2
AWC65
AWC AWC65题解
3
AWC64
AWC AWC64题解
4
2026天梯补题及吐槽
比赛 补题及吐槽
5
2026蓝桥省pyb补题及吐槽
比赛 补题及吐槽
随机文章 随机推荐

评论区

分享你的想法，与大家交流讨论

Profile Image of the Author
7a7a68
愿你明日如绚丽之花.
公告
留言暂不可用
音乐
封面

音乐

暂未播放

0:00 0:00
暂无歌词
分类
标签
站点统计
文章
7
分类
4
标签
5
总字数
9,377
运行时长
0 天
最后活动
0 天前
© 2026 7a7a68. All Rights Reserved. / RSS / Sitemap
Powered by Astro & Firefly

目录