当 $(x,y) \neq (0,0)$ 时，

对于任意 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \frac{\varepsilon}{2}$，则当 $|x| < \delta, |y| < \delta, (x,y) \neq (0,0)$ 时，

则：

二元函数极限的严格数学定义（即 $\varepsilon-\delta$ 语言定义）是微积分中的核心概念。它将“无限靠近”这种直观感觉，转化为了严密的数学逻辑。

二元函数极限的 $\varepsilon-\delta$ 定义

设函数 $z = f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的某个去心邻域内有定义。如果存在一个常数 $A$，满足以下条件：

对于任意给定的正数 $\varepsilon > 0$（无论它多么小），总存在一个正数 $\delta > 0$，使得当点 $P(x,y)$ 与点 $P_0(x_0, y_0)$ 的距离满足：

时，对应的函数值 $f(x,y)$ 必定满足不等式：

那么，常数 $A$ 就叫做函数 $f(x,y)$ 当 $(x,y) \to (x_0, y_0)$ 时的极限，记作：

核心要素拆解与几何意义

1. 误差容忍度 $\varepsilon$：代表在 $z$ 轴（函数值）上，我们允许函数值 $f(x,y)$ 偏离目标极限值 $A$ 的最大误差范围。$|f(x,y) - A| < \varepsilon$ 意味着函数值必须落在区间 $(A-\varepsilon, A+\varepsilon)$ 内部。

2. 控制范围 $\delta$：代表在 $xy$ 平面（自变量）上，点 $P(x,y)$ 距离目标点 $P_0(x_0, y_0)$ 的最大允许距离。这个距离是一个以 $(x_0, y_0)$ 为圆心、$\delta$ 为半径的圆（去掉圆心）。

3. “去心”的意义 $0 < \dots$：公式里的 $0 < \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}$ 意味着点 $(x,y)$ 可以无限靠近 $(x_0, y_0)$，但绝不能等于$(x_0, y_0)$。这是因为极限只关心函数在某点附近的变化趋势，而不在乎函数在该点本身是否有定义。

4. 逻辑顺序：先有 $\varepsilon$，后找 $\delta$：这是一个“你出招，我拆招”的过程：不论别人给出一个多么苛刻（多么小）的 $\varepsilon$，你都必须能计算/找到一个相应的 $\delta$ 来“锁住”自变量的范围，保证函数值不超标。

而 $\lim_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}(\sqrt{x+y+1}+1)=2$ 存在，故只需证明 $\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{xy}{x + y}$ 不存在即可。

当 $(x,y)$ 沿着 $y = kx^2 - x(k \neq 0)$ 趋向于 $(0,0)$ 时，

此结果随之不同的 $k$ 而变化，故此极限不存在，原极限不存在。

由均值不等式可得：

而：

故：

令 $x = \rho \cos \theta, y = \rho \sin \theta$，则：

而当 $x \to \infty, y \to \infty$ 时，$\rho \to \infty$，故

由 $f(x,0) = f(0,y) = f(0,0) = 0$，得：

当 $x \to 0, y \to 0$ 时，显然二元函数的极限不存在，故 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不连续。

由：

知 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处两个偏导数均存在。

若 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则：

其中 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$，则：

故：

但这与二重极限 $\lim_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}} \frac{\Delta x \Delta y}{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ 不存在相矛盾，故 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不可微。

故 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处偏导数存在，则：

因 $\lim_{\substack{x \to 0 \\ y = x}} f_x(x,y)$ 和 $\lim_{\substack{x \to 0 \\ y = x}} f_y(x,y)$ 都不存在，故 $f(x,y)$ 的两个偏导数在 $(0,0)$ 处均不连续。

由 $\Delta f = \left[(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2\right] \cdot \sin \frac{1}{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$，$f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0$，知在点 $(0,0)$ 处，当 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \to 0$ 时：

故 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微。

设 $u = x^2 - y^2, v = \cos xy$，$f(u,v)$ 经过中间变量 $u,v$ 而后中间变量 $x,y$ 变成自变量 $r,\theta$ 的函数，则：

记 $x = uv, y = \frac{1}{2}(u^2 - v^2)$，则 $g(u,v)$ 是以 $x,y$ 为中间变量，以 $u,v$ 为自变量的复合函数：

带入：

整理：

带入 $\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2 = 4 - \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2$，整理：

则有：

解得 $a = 1/4, b = -1/4$。

(1) 直接法

将方程两端分别对 $x,y$ 求导，得：

联立解得：

(2) 公式法

令 $F(x,y,z) = x \cos y + y \cos z + z \cos x - 1$，则：

故：

(3) 全微分法

令 $F(x,y,z) = x \cos y + y \cos z + z \cos x - 1$，令 $F(x,y,z) = 0$，则：

即：

故：

(1) 将 $u$ 和 $v$ 看成中间变量，$x$ 和 $y$ 看成自变量

易知函数显化：

则：

故：

(2) 将 $x$ 和 $y$ 看成中间变量，$u$ 和 $v$ 看成自变量

联立解得：

(3) 采用全微分

对给定的方程组求全微分，得：

联立前两式得：

带入 $\mathrm{d}z = v \mathrm{d}u + u \mathrm{d}v$，得：

故：

易知：

则：

代入原方程：

故：

所以 $a = 1$。

则：

对方程两端求微分：

则：

故：

令 $u = 2x, v = y, w = z - x$，则 $f(u,v,w) = 0$，两边对 $x$ 求偏导数，得：

易知：

则：